بهینه سازی و تجزیه و تحلیل نتایج آماری آزمایشگاه

بهینه سازی و تجزیه و تحلیل نتایج آماری آزمایشگاه

فرمت: Pdf  تعداد صفحات: 19

فهرست:

• بهینه سازی
• بهینه سازی به روش خطی
  • روش هندسی (ترسیمی)
  • الگوریتم سیمپلکس
  • ساخت الگوریتم سیمپلکس برای کمینه سازی
• بهینه سازی غیرخطی
  • بهینه سازی به روش گرادیانی
  • بهینه سازی به روش غیر گرادیانی
  • پردازش ریاضیاتی- آماری
  • ارزیابی مدل پیشنهادی
  • تعیین شرایط بهینه
  • نمایش گرافیکی مدل پیشنهادی
  • بهینه سازی همزمان چند پاسخ

بهینه سازی

تعیین شرایط بهینه در سیستم های آزمایشگاهی، نیمه صنعتی و توسعه یافته یکی از مسائل پیچیده برای محققان و مهندسان است. این پیچیدگی به سبب ماهیت فرآیندهایی است که به طور همزمان شامل واکنش های شیمیایی، انتقال جرم، انتقال حرارت و انتقال ممنتوم می شود. این شرایط به محقق اجازه نمی دهد که با دانستن دانش نظری شناخته شده بتواند به مدلی قطعی برای ایجاد یک نقطه بهینه دست یابد. بنابراین برای یافتن شرایط بهینه، پیشنهاد می شود که از طراحی آزمایش ها و یا مدل های تجربی استفاده گردد. محققی که طراح آزمایش است، پیش از اجرای آزمایش ها، نمی داند که نقطه بهینه در کجا واقع شده است، بنابراین برای دستیابی به این نقطه، از دو روش استفاده می شود:

در روش اول، با استفاده از یک مدل تجربی فرضی، داده های آزمایشی در محدوده آزمایشی تقریب زده می شود و اگر مدل به دست آمده مناسب باشد، رسیدن به نقطه بهینه با استفاده از مدل، بسیار کارآمد خواهد بود. در روش دیگر، محقق مدلی ارائه نمی دهد، اما آزمایش ها بر اساس منطق تعریف شده ای، بارها انجام می شود تا زمانی که به نقطه بهینه دست یابد.

در بهینه سازی یک فرآیند، سعی بر آن است که عوامل مؤثر و کنترل پذیر به گونه ای پیشنهاد می شود تا با توجه به محدودیت های مسئله به سمت بهترین جواب قابل اطمینان، حرکت شود. برای یک مسئله، ممکن است پاسخ های گوناگونی مورد توجه باشد. برای مقایسه این پاسخ ها و یافتن پاسخ بهینه، تابعی به نام تابع هدف تعریف می گردد. انتخاب این تابع به طبیعت مسئله وابسته است.

گاهی در بهینه سازی چند هدف به طور همزمان مدنظر قرار می گیرد؛ این گونه مسائل بهینه سازی که دربرگیرنده چند تابع هدف هستند، مسائل چندمنظوره نامیده می شوند. ساده ترین راه در برخورد با این گونه مسائل، تشکیل تابع هدف جدیدی به صورت ترکیبی از توابع هدف اصلی است که در این ترکیب، مقدار اثرگذاری هر تابع با توجه به اهمیت آن تابع به صورت یک نسبت وزنی مشخص می شود. واژه «بهترین» بیان می دارد که بیش از یک جواب و راه حل برای مسئله وجود دارد و یافتن بهترین جواب (جواب بهینه) به نوع مسئله، روش حل و خطای مجاز وابسته است. مسائل گوناگون بهینه سازی با دیدگاه های متفاوت تقسیم بندی می شود. در یک تقسیم بندی، این مسائل به دو دسته خطی و غیرخطی تقسیم می شود که در ادامه توصیف خواهد شد.

بهینه سازی به روش خطی

مسئله برنامه ریزی خطی مسئله ای است که در آن، بیشینه و یا کمینه کردن مقدار یک تابع خطی هدف است. برای بهینه سازی تابع هدف که متغیرهای آن اغلب با محدودیت هایی روبروست، چنانچه متغیرهای موجود در تابع هدف حداکثر سه متغیر باشند، از روش ترسیمی یا هندسی استفاده می شود.

چنانچه تابع خطی بیش از سه متغیر داشته باشد، استفاده از روش ترسیمی عملا غیرممکن بوده و از الگوریتم های دیگر مانند روش سیمپلکس برای این بهینه سازی استفاده می گردد.

روش هندسی (ترسیمی)

این روش به مدل هایی محدود می شود که حداکثر سه متغیر تصمیم دارند و حل مدل های دارای بیش از سه متغیر تصمیم به روش ترسیمی، امکان پذیر نیست. در ادامه، مثال هایی از بیشینه کردن یا کمینه نمودن تابع هدف ارائه می شود.

الگوریتم سیمپلکس

الگوریتم سیمپلکس با هدف حل مسائل برنامه ریزی خطی در سال ۱۹۴۷ توسط جرج دنتزیک ۳ ابداع گردید. برای حل مسائل به روش سیمپلکس، از شکل استاندارد مسائل خطی استفاده می شود. مسائلی که به روش سیمپلکس پس از استاندارد کردن حل شدنی اند، به صورت زیر می باشند:

1. تابع هدف بیشینه یا کمینه سازی است.
2. محدودیت های مسئله به صورت ≤ و ≥ است.
3. تمام متغیرها غیر منفی اند.

یکی از موارد کاربردی در این بخش، متغیرهای کمکی هستند. این متغیرها، با مقدار نامنفی به سمت چپ محدودیت های کوچک تر مساوی اضافه می شوند و یا از سمت چپ محدودیت های بزرگ تر مساوی (2) کم شده تا محدودیت ها به صورت تساوی در آیند. در حالت اول، این متغیرهای کمکی، متغیر کمبود و در حالت دوم، متغیر مازاد نامیده می شوند. انواع متغیرها شامل متغیرهای پایه و متغیرهای غیر پایه است.

در این روش، به منظور دست یابی به جواب بهینه، همواره از یک گوشه به گوشه دیگر حرکت می شود. الگوریتم بهینه سازی به روش سیمپلکس به قرار زیر است:

1. تبدیل مدل به فرم استاندارد (تابع هدف به صورت بیشینه سازی و محدودیت ها به صورت تساوی)
2. پیدا کردن نقطه راسی اول
3. انتخاب یک متغیر با مقدار منفی در سطر اول
4. انتخاب متغیر پایه ای که باید از حالت پایه خارج شود.
5. تغییر حالت متغیر غیر پایه به پایه

ساخت الگوریتم سیمپلکس برای بیشینه سازی در ادامه، چگونگی ساخت الگوریتم سیمپلکس توسط یک مسئله به صورت کامل شرح داده می شود. مسئله برنامه ریزی خطی زیر در نظر گرفته شود (مسئله بیشینه سازی):|

Maxz= 4X₁ – X₂ +۲X₃
۲X₁+X₂-۲X₃ ≤ 6
X₁ – 4X₂ +۲X₂≤ 0
5X₁ -2X₂-2X₃≤ 4
X₁, X₂, X₃≥ 0

ابتدا مسئله باید استاندارد شود. این کار، با استفاده از متغیرهای کمکی انجام می شود ( X₄, X₅,X₆) و روابط بالا به صورت زیر تغییر می کند.

Z – 4X₁+X₂ -2X₃ = 0
2X₁+X₂ + 2X₃ +X₄ = 6
X₁ – 4X₂ + 2X₃ + X₅ = 0
5X₁ – 2X₂ – 2X₃ + X₆ =4
X₁,X₂,X₃,X₄,X₅,X₆ ≥ 0

هنگامی که هدف، حل مسئله ای به روش سیمپلکس و به طور دستی باشد، پیشنهاد می شود حتما از شکل جدولی (جدول 1) استفاده گردد که در این بخش توضیح داده خواهد شد. این شکل از روش سیمپلکس، حتی در برنامه نویسی های رایانه ای نیز بسیار استفاده می شود. در این جدول، ستون اول ستون متغیرهای اساسی شناخته شده و ستون آخر بیانگر سمت راست معادلات است. ستون های وسط، به ضرایب هر یک از متغیرهای مورد استفاده در مدل مربوط است. سطر اول که سطر صفر شناخته شده است، به ضرایب تابع هدف مربوط است.

ادامه مطلب را با دانلود فایل پیوستی مشاهده کنید.

حتما بخوانید:

⇐ آشنایی با روش های طراحی آزمایش ها در آزمایشگاه

⇐ ایمنی و بهداشت در آزمایشگاه های آب و فاضلاب

⇐ آشنایی با روش های محلول سازی در آزمایشگاه